XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников 2003 - 10 класс.
(Условие)

1. Известно, что в возрастающей арифметической прогрессии есть два целых числа, а также квадрат наименьшего из них. Докажите, что в этой прогрессии есть и квадрат второго числа.

2. При каких a один из корней уравнения

x2 - 2(sin(a)+cos(a))x + sin(2a) = 0
больше другого в три раза?

3. В левом верхнем углу таблицы 9*9 написана единица. Разрешено заполнять остальные клетки только по следующему принципу: выбираются две клетки с общей стороной, в одной из которых уже стоит некоторое число x. В другую клетку можно поставить одно из чисел: 3x или x - 2. Всю таблицу заполнили, посчитали сумму всех чисел в её клетках. Могли при этом получить ноль?

4. В параболу y = x2 вписан прямоугольный треугольник так, что его гипотенуза параллельна оси абсцисс. Докажите, что его высота, проведённая на гипотенузу, равна единице.

5. На отрезке AC отмечена точка B. Точки M и N таковы, что AM = MB, BN = NC и AC || MN. В треугольники AMB, MBN и BNC вписаны окружности с радиусами r1, r и r2 соответственно. Известно, что r1 < r2. Докажите, что r1 < r < r2