Традиционная заочная физико-математическая олимпиада для школьников 2003
(Проводится Факультетом Молекулярной и Биологической Физики МФТИ)

Математика.

1. Докажите, что для любых неотрицательных чисел x, y, z выполняется неравенство:
x³ + y³ + z³ + 3xyz > x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz².

2. В треугольнике ABC c длинами сторон a, b, c из вершины A проведены медиана AM и биссектриса AL. На отрезке BC выбрали точку S так, что прямая AL является биссектрисой угла MAS. Найдите отношение отрезков BS и CS.

3. Вокруг равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) описана окружность. На дуге AB, не содержащей точку C, выбирается произвольно точка X. Пусть Y - проекция точки A на прямую CX. Докажите, что CY = YX + XB.

4. Найдите 2004-ю цифру после запятой в десятичной записи числа (7 + 4,3)²⁰⁰⁴.

5. Решите неравенство: cos(sinx) > sin(cosx).

6. Могут ли числа 7, 8 и 9 быть членами одной геометрической прогрессии (необязательно последовательными)?

7. Прямая пересекает замкнутую ломаную в 2003 точках. Докажите, что существует такая прямая, которая пересекает эту ломаную не менее, чем в 2004 точках.

8. Есть 2004 натуральных числа. Докажите, что из них можно сделать выборку чисел такую, что их сумма будет делится на 2004.

9. Оказалось, что в последовательности a_n = A + B ^.2ⁿ + Cn ^.2ⁿ + 2004, где A, B, C - целые числа, первые три числа нацело делятся на 13. Докажите, что любой член последовательности также нацело делится на 13.

10. Докажите, что если два многочлена третьей степени с целыми коэффициентами имеют общий иррациональный корень, то они имеют ещё один общий корень.