Математика.
(Условие)

1. Докажите неравенство

2. Пусть M - некоторая точка внутри треугольника ABC. Известно, что вписанные в треугольники ABM, CBM и CAM круги равны и попарно касаются друг друга. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

3. Пусть d(n) - число всевозможных натуральных делителей числа n (включая само n и 1). Существуют ли такие натуральные числа x и y, что d(x) = 15, d(y) = 15, d(xy) = 30 ?

Физика.
(Условие)

1. На горизонтальной поверхности стола находятся в покое доска массой M с бруском массы m. Коэффициент трения скольжения между бруском и доской равен , а между доской и столом - 2. Какую горизонтальную силу F надо приложить к доске, чтобы за время t брусок достиг левого края доски, находясь вначале на расстоянии L от этого края?

2. В изобарическом процессе идеальному газу сообщили количество теплоты в = 7/2 раза большее совершенное газом работы в этом процессе. Найти для этого газа отношение удельных теплоёмкостей при постоянном давлении и постоянном объёме.

3. Два резистора и два одинаковых вольтметра входят в состав некоторой цепи. Сопротивление резисторов R₁ = 400 Ом, R₂ = 800 Ом. Показания вольтметров U₂ = 30 B, U₁ = 20 B. Найти сопротивление R одного вольтметра.

Математика.
(Решение)

1. I_способ: Умножим обе части неравенства на 4 и перенесём всё налево. Получим:

.

,

2. I_способ: Так как круги равны и попарно касаются друг друга, то их центры D, E и F будут вершинами правильного треугольника DEF стороны которого перпендикулярны (по свойству радиуса, проведённого в точку касания) отрезкам AM, BM и CM. Значит углы AMB, BMC и AMC равны 120 градусам; а тк, например, углы ABM и MBC равны между собой, то и углы MAB и MCB будут равны (тк сумма углов треугольника 180 градусов) 30 градусам, т.е. у треугольника ABC все углы равны 60 градусам, т.е. он правильный.
II_способ: Пусть D, E и F - центры равных кругов, вписанных в треугольники ABM, CBM и CAM соответственно. Так как первые два круга касаются друг друга и с разных сторон касаются прямой BM, то эта прямая - серединный перпендикуляр к отрезку DE, поэтому точка P лежит на BM (DF=EF). Аналогично, AM и CM - также серединные перпендикуляры к сторонам равностороннего треугольника DEF, поэтому MF - биссектриса угла AMC. Но тогда круги с центрами D и E симметричны друг другу относительно прямой BM, и лучи MA и MC симметричны друг другу относительно этой же прямой. Следовательно, прямая BM - ось симметрии треугольника ABC. Аналогично, прямая AM также является его осью симметрии. То есть треугольник ABC - равносторонний.

3. I_способ: Как известно, любое натуральное число можно представить в виде: x = p₁^k₁ . p₂^k₂ . _.... . p_r^k_r (произведение некоторых степеней простых чисел). Тогда число всевозможных натуральных делителей x будет равно d(x) = (k₁ + 1) (k₂ + 1) ... (k_r + 1) тк для каждого натурального делителя x мы можем однозначно сказать, сколько в него раз входят эти простые множители (некоторые из них могут и не входить; если ни один не входит, тогда это соответствует 1; если все входят, то x). По условию d(x) = d(y) = 15 = 1^.15 = 3^.5, те x и y могут быть только числами следующего вида: либо p₁¹⁴, либо p₁². p₂⁴, а их произведение может иметь только следующий вид: p₁²⁸ ; p₁¹⁴p₂¹⁴ ; p₁¹⁶p₂⁴ ; p₁¹⁸p₂² ; p₁¹⁴p₂²p₃⁴ ; p₁⁴p₂⁸ ; p₁⁴p₂⁴p₃⁴ ; p₁²p₂²p₃⁸ ; p₁²p₂²p₃⁴p₄⁴. При этом d(xy) будет равно соответственно: 29; 225; 85; 57; 225; 45; 125; 81; 225. Тридцати среди этих чисел нет.
II_способ: Заметим, что если число k является делителем числа n, то и число n/k - тоже делитель числа n. Значит число n имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда n является точным квадратом (квадратом некоторого натурального числа). Значит x и y - точные квадраты, но тогда и xy - тоже точный квадрат, те d(xy) должно быть нечётным.
Ответ: Нет.

Физика.
(Решение)

1. Ускорение бруска , ускорение доски . Путь бруска по доске . Из этих уравнений выражаем F.

2. Пусть m - масса газа, T - изменение температуры. колическво теплоты Q = mc_pT, изменение внутренней энергии U = mc_vT, работа газа A = Q/, причём Q = U + A. Из записанных уравнений находим c_p/c_v.

cp/cv = 7/5

3.

R = 800 Ом