XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников 2003 - 7 класс.
(Условие)

1. Используя не более 6 цифр из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а также знаки арифметических действий и скобки, получите число 2003. Каждую цифру можно использовать не более одного раза. Из цифр можно составлять числа.

2. Сережа разрезал квадратный именинный торт весом 900 г двумя прямолинейными разрезами, параллельными одной паре сторон, и двумя разрезами, параллельными другой паре сторон, на 9 прямоугольных частей. Докажите, что Петя может выбрать такие три куска торта, не имеющие общих сторон, что суммарный вес этих кусков не меньше 300 г.

3. На доске написано слово ШАШКА. Каждую минуту Вася выбирает две буквы, стирает их, а вместо каждой из них записывает букву, соседнюю в алфавите со стертой. (Используется весь алфавит, т.е. включающий в себя все 33 буквы). Например, ШАШКА -> ШАЩИА -> ЧАЩИА. Может ли через несколько минут на доске появиться слово КАЗАК?

4. В квадрате 5 x 5 проведены разрезы по некоторым сторонам квадратиков 1 x 1. Могло ли получиться так, что квадрат распался на 8 кусков, любые два из которых различны?

5. По кругу в каком-то порядке расставили все натуральные числа от 1 до 18 и вычислили все 18 сумм пар соседних чисел. Какое наибольшее число из таких сумм могут оказаться точными квадратами (квадратами натуральных чисел)?