XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников 2003 - 11 класс.
(Условие)

1. Найдите сумму корней всех квадратных трёхчленов вида x² + px - 2003, где p принимает все целые значения от -100 до 100.

2. Петя написал на доске значения двух углов какого-то треугольника. Всегда ли Вася сможет написать перед одним из углов "sin", а перед другим "cos" так, чтобы сумма получившихся чисел (sin(a) + cos(b)) была бы не больше квадратного корня из двух.

3. Через точку, находящуюся на расстоянии a от центра параллелограмма, проведена плоскость. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до этой плоскости не превосходит 4a.

4. Пусть A - множество таких натуральных чисел, которые записываются только с помощью цифр 1, 5 и 9, причем каждая цифра используется не менее одного раза. Может ли сумма 1001 различного числа из множества A быть полным квадратом?

5. Точка B - середина отрезка AC. По одну сторону от прямой AC взяты точки M и N так, что AM = BN и BN = CN. Докажите, что r < r₂, где r, r₁ < r₂ - соответственно радиусы окружностей вписанных в треугольники NMB, AMB и BNC.