Третий математический турнир старшеклассников "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"
(Командная олимпиада. Москва, 4-10 декабря 1999 года).

1. Существует ли натуральное число, которое при уменьшении или увеличении любой его цифры на 1 будут превращаться в число, делящиеся на 11?

2. Биссектриса треугольника видна из оснований двух других биссектрис под равными углами. Докажите, что этот треугольник - равнобедренный.

3. Для положительных чисел x,y,z выполняется равенство x² + y² + z² = 3. Докажите неравенство:

4. Докажите, что существует бесконечно много пар целых чисел a и b таких, что уравнение 3x + 2 = |x² + ax + b| имеет ровно три корня.

5. На плоскости отмечены n точек (n > 1). Всегда ли их можно так раскрасить в два цвета, что для каждой точки сумма расстояний от нее до точек ее цвета не больше суммы расстояний от нее до точек другого цвета?

6. Треугольник заклеили двумя полосками скотча шириной 1 см. Докажите, что его можно заклеить одной полоской шириной 2 см.

7. Докажите, что для любого многочлена f(x) с целыми коэффициентами (отличного от константы) найдется такое простое p, что для любого натурального n найдется целое m, для которого f(m) делится на pⁿ.

8. Если в графе G удалить ребро r и любое другое ребро, то связность сохранится. Докажите, что в этом графе есть два цикла, проходящих по ребру r, и не имеющих других общих ребер. (общие вершины допускаются).

9. Докажите, что число (2ⁿ+1)(2ⁿ+2):(2^m-1) ни при каких натуральных n и m не может быть точным квадратом.